Binärsystem

Hinweis: Falls Ihnen das Binärsystem (Darstellung von Zahlen durch Einsen und Nullen) bekannt ist, können Sie diesen Abschnitt überspringen. Es könnte allerdings dennoch empfehlenswert sein, das Thema nochmal kurz zu wiederholen.

Im Binärsystem lassen sich Zahlen mit nur zwei Ziffern (0 und 1) darstellen, während das im Alltag genutzte Dezimalsystem die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Es wird im Zusammenhang mit SDTP häufig benötigt, da sich Daten im Binärsystem besser darstellen lassen. Um die Funktionsweise des Binärsystems zu verstehen, ist es sinnvoll, zunächst den Aufbau des bekannten Dezimalsystems zu untersuchen, um dann die Gemeinsamkeiten zu nennen.

Das bekannte Dezimalsystem stellt (wie auch alle anderen Zahlensystem nach dem sogenannten Stellenwertsystem) Zahlen mit einzelnen Ziffern da, die jeweils mit einer bestimmten Zahl multipliziert werden müssen, um die eigentlich Zahl zu berechnen. Nehmen wir das Beispiel 724:

100  10  1
7 2 4

Hier wird diese Zahl dargestellt, indem durch die Positionen der einzelnen Ziffern 7, 2 und 4 angegeben wird, mit welchem vielfachen von 10 sie multipliziert werden müssen. Um das Prinzip besser nachzuvollziehen, kann die Darstellung auch in den Potenzen der Basis 10 erfolgen:

102 101 100
7 2 4

Wird nun 7*102 + 2*101 + 4*100 berechnet, ist das Ergebnis 724.

Hinweis: Eine beliebige Zahl mit 0 potenziert ergibt stets 1.

Das gleiche Prinzip, welches hier an dem aus dem Alltag bekannten Dezimalsystem veranschaulicht wurde, lässt sich auch auf eine andere Anzahl von Ziffern, etwa zwei, übertragen. Hierfür ist es erforderlich, die Zahlenreihe der 2er-Potenz zu kennen, welche folgendermaßen beginnt:

0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024
11 2048

Vielleicht sind Ihnen zwei Dinge aufgefallen: Das erste könnte sein, dass die vorherige Zahl jeweils verdoppelt wird, was daran liegt, dass die Basis (also Anzahl der unterschiedlichen Ziffern) zwei ist, während beim Dezimalsystem stets verzehnfacht worden ist. Als zweites könnten Ihnen die Zahlen aus dem Bereich der digitalen Elektronik bekannt vor kommen: Speicherkarten mit 8, 16 oder 32 Gigabyte, Software in der 64- oder 32-Bit-Version, und frühe Computerspiele hatten 256 Farben. Dies ist kein Zufall, sondern hat vereinfacht ausgedrückt die Ursache darin, dass Computer nur die Zustände "Strom" und "Kein Strom" verarbeiten können, welche die Zahlen 0 und 1 repräsentieren. Analog dazu finden Sie außerhalb der Informatik häufig Mengenangaben oder auch Redewendungen, die der Basis 10 unseres Dezimalsystems entnommen sind, wie etwa Pakete mit 100 einzelnen Objekten, einem Paket mit einem Kilogramm Zucker (also 1000 Gramm) oder Redewendungen wie "Ich habe hundert/tausend Mal erwähnt, dass...". Und die grobe Einstufung darin, wie Vermögend eine Person ist, wird durch Bezeichnungen wie Millionär (1000000) oder Milliardär (1000000000) vorgenommen. Sicherlich kennen Sie weitere Beispiele.

Aber zurück zum Binärsystem: Wollen wir die Zahl 724 in diesem System darstellen, müssen wir zunächst die größte Zahl kleiner/gleich der umzuwandelnden Zahl aus der 2er-Potenzreihe suchen. Anschließend subtrahieren wir diese Zahl, und notieren sie uns. Für das Ergebnis wird ebenfalls die größte Zahl kleiner/gleich dieser in der 2er-Potenzreihe gesucht, und subtrahiert. Auch diese Zahl wird notiert, und mit dem Ergebnis so weiter verfahren, bis die Null als Ergebnis erscheint:

724 - 512 = 212
212 - 128 = 84
 84 - 64  = 20
 20 - 16  = 4
  4 - 4   = 0

Zur Darstellung der Zahl im Binärsystem muss nun dargestellt werden, dass die Stellenwerte 512, 128, 64, 16 und 4 "aktiviert" sind, während alle anderen nicht aktiviert sind. Denn durch die Addition von ausschließlich diesen Zahlen erhalten wir die 724.

Hierzu werden in einer Stellenwerttabelle die 2er-Potenzen bis 512 von Rechts nach Links eingetragen, und darunter jeweils eine 1 geschrieben, wenn der Wert vorhanden ist - andernfalls eine 0.

 512   256   128   64   32   16   8   4   2   1 
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0




Aufgaben:

1. Stellen Sie die Dezimalzahlen 482, 591, 38 und 38492 in dem Binärsystem da.
2. Stellen Sie die Binärzahlen 101101001, 111010010, 10101101 und 11110110 im Dezimalsystem da.